自在开释的篮球能向上活动吗？约莫答案没你想的那么简便
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关于“氛围中自在开释的篮球能向上活动*吗？”的讨论
*注：这里及本文以下所谓的“向上活动”，不特指篮球“竖直向上活动”，而是指篮球在活动历程中的速率显现竖直向上的速率分量
序 言
在近期刚刚完毕的2020年北京市高考中，物理卷第14题以从高处开释旋转篮球的生存场景为素材，经过提供新信息（氛围阻力和偏转力的朝向及轻重），让学生团结已有的知识及办法（机器能转化、力与活动的干系及受力分析）推断并推测篮球在空中的活动情况。成绩原文如下：
14.在无风的情况，或人在高处开释运动的篮球，篮球竖直下落；假如先让篮球以一定的角速率绕过球心的水平轴转动（如图）再开释，则篮球在向下掉落的历程中偏离竖直朝向做曲线活动。其缘故是，转动的篮球在活动历程中除受重力外，还遭到氛围施加的阻力
f1和偏转力f2。这两个力与篮球速率v的干系大抵为：f1=k1v2，朝向与篮球活动朝向相反；f2=k2v，朝向与篮球活动朝向垂直。下列说法准确的是
A.k1、k2是与篮球转动角速率不关的常量
B. 篮球可回到原高度且角速率与开释时的角速率相反
C. 人站得充足高，落地前篮球有约莫向上活动
D. 开释条件切合，篮球有约莫在空中持续一段水平直线活动
该成绩所形貌的征象如图1中所示。起首关于标题中的A选项，由标题信息可知，不旋转的篮球下落不会遭到垂直于活动朝向的力而产生偏转，以是f2的产生与球的转动密不因素。因此k2与角速率有关，但仅从标题信息中无法取得该力产生的实质缘故以及与角速率的具体干系。
图1 旋转篮球在氛围中下落的活动情况
标题中的B选项察看了学生关于氛围阻力做功时能量转化历程的了解，由于机器能变小，篮球无法回到初始高度（本文2.1节的研讨标明，假如忽略氛围阻力的作用，篮球会做周期性活动，并可以回到初始地点。而氛围阻力矩对其转动的影响请参见2.5节）。
关于成绩中C选项所提到的篮球向上活动的约莫性，假如从定性的角度分析这一征象，在篮球下落的历程中，由受力分析可知，随着速率不休增大，篮球遭到f1和f2的协力沿竖直朝向的分力约莫会显现比重力大的情况，故而可使篮球竖直朝向的分速率减小为零或变成竖直向上，以是篮球约莫向上活动。图2中刻画了自在开释的旋转篮球在给定不同旋转速率时的活动轨迹，可以看到随着转速的增长，篮球在相反竖直位移（y轴）对应的横向（x轴）位移越大，且会显如今竖直朝向上做往复活动的情况，绘制该图的实际讨论请参考2.3节。
图2 转速不同时篮球活动轨迹的变化
（实际盘算图像）
而关于D选项所提到的“持续水平直线活动”，假如篮球的速率变成水平朝向，则氛围阻力的作用会使篮球速率减小，则篮球遭到的偏转力f2将变小，不克不及坚持f2与重力持续等大反向，以是不成能在空中持续一段水平直线活动。
可见，高考中这一成绩的设置很好地察看了学生的封建头脑，在引导学生从物理学视角熟悉和了解生存征象方面起到了很好的促进作用。同时这种征象并不仅限于篮球，它在别的任何触及球类的活动中都很广泛，比如足球中的香蕉球、电梯球等，以及乒乓球的各种旋球技法[2，3]中。为了进一步发掘这一征象眼前的物理原理，本文将从如下几个方面掀开讨论：
-
转动的球形物体所遭到的偏转力是怎样产生的？与物体的角速率有何干系？
-
哪些要素会影响球体的活动轨迹，将怎样影响？
-
要想完成标题中C选项所提及的球体向上活动的征象，除了要满意“充足高开释”的条件外，对否还必要满意别的条件？
-
篮球虽不成能在空中持续一段水平直线活动，但其在空中的活动对否会像雨滴的收尾速率一样终极存在一个安定活动的形态？
01 马格努斯效应及其扼要证实
1672年，牛顿在剑桥观看一场网球比赛时察看到，上旋球会使球的下降速率更快。与此相反，下旋球会使球小距离地悄悄向上挪动和漂移。1852年，德国物理学家海因里希·马格努斯提出: 当旋转物体的角速率矢量与其质心速率矢量不重适时，在与这两个矢量地点平面相垂直的朝向上将产生一个横向力，招致物体飞行轨迹产生偏转，即出名的马格努斯效应[1]．可见，由于马格努斯效应所产生的横向力即为篮球成绩中的偏转力。
图3 马格努斯效应表现图
马格努斯效应的产生可以用伯努利原理来表明。如图3所示，思索一个半径为r的球干系于流体以速率v向右活动，流体即以速率v相对球体向左活动。当球以角速率ω顺时针旋转时，其上下外表的速率朝向不同。由于球的旋转，和其外表与流体的黏滞作用，其下端流了解由于球同朝向活动的拖拽而增速；相反，球上端流体的速率会由于球反向旋转的拦阻而减小。因此，上下外表构成了由于流速差招致的压强差，由此产生了不为零的压力协力。这个力与球的转速朝向垂直，也与相对流体的活动朝向垂直，朝向从流体颠末球外表流速慢的一端指向流速快的一端。简便来看，球上端和下端的流体速率vu和vd可以表现为
(1)
使用伯努利方程，并忽略上下外表由于势能厘革带来的压差，我们有
(2)
这里pu和pd是球上下外表的压强，ρ是流体密度。联立（1-2）式，可以取得
(3)
显然，这一压强差恰比于转速，当转速为0时，压强差散失。进而，从量纲分析的角度，这一由物体转动带来的压强差在物体外表作用所带来的压力协力即为
(4)
此中S是球的横截面积。上式中力的具体情势可以进一步写为F=Cρωr3 v，这里C是比例系数，可以在球外表颠末面积分取得[4-6]。必要注意的是，常系数C还取决于流体在旋转物体外表的活动形态，因此不同外形以及外表粗糙水平不同的物体具有不同的系数C，关于其求解历程，这里不再掀开讨论。但是这一系数的具体值，不影响（4）式取得的力关于转速ω、活动速率v的依托干系。
（4）式取得的力即为马格努斯力，可以简写为
(5)
此中比例系数
(6)
与球的转速、氛围密度、体积成恰比。从这一推导中可以看到，马格努斯效应是伯努利原理的一个直接后果，与物体的转动和相对流场中的平动密不因素。总的来说，这一由于物体转动带来的垂直于物体平动朝向的力会招致物体的轨迹比拟于未转动的情况下更繁复，也会显现更丰厚幽默的活动特性和轨迹。如图4所示，一个旋转着水平抛出的圆柱，会向上活动，而不是展现出通常平抛活动的轨迹，这就体现了马格努斯效应对旋转物体活动轨迹带来的影响。
图4 旋转的纸筒在空中的飞行轨迹
可见，只需可以让柱体坚持旋转，同时借助螺旋桨动员其行进提供一个平动速率，便可用来制造飞行器，如图5所示.
图5 使用马格努斯效应制造的航模
除此之外，马格努斯效应在船舶的推进安装中也有着广泛的使用。如图6所示的“Viking Grace”号就是经过安装圆柱形转子帆使用马格努斯力推进的客船。它使用倡导机驱动转筒自转，使其背风一侧外表的气压增大，顺风一侧外表的气压低落，从而产生一个垂直于气流朝向的横向力。经过调停转筒的转速和旋转朝向，可以调治帆体受力的轻重和朝向，从而为船舶提供行进的推力[7]。综合来看，在燃料节流与情况排放压力日趋增大的情况下，转子帮助飞行武艺具有一定的使用出息。
图6 举世第一艘接纳转子帆武艺的客船——”Viking Grace”号
02 旋转物体的活动轨迹:
马格努斯效应的影响
在底下的研讨中，我们具体思索一个无质心初速率且有安定旋转速率的球体在氛围中自在开释后的活动。活动历程中其质心平动速率为v，球体绕质心旋转速率为ω.
图7 空中飞行的球形物体的受力表现图
如图7所示，笨重起见，我们思索在空中活动的一半径为r，密度为ρb，体积为V=4πr3/3的旋转球体。在竖直朝向，该球体遭到向下的重力mg与向上的浮力ρagV，这两个力轻重恒定与球的活动形态不关，这里ρa是氛围密度。别的，球体遭到与活动朝向相反的氛围阻力f1=k1 v2，以及在垂直于活动朝向球体遭到马格努斯效应产生的压差带来的马格努斯力f=2 k2 v。思索球体在x-y平面内的活动，可以列出如下两个活动方程
(7)
(8)
此中θ是球活动朝向与x轴夹角，满意
(9)
联立（7-9）式，可以取得
（10）
(11)
关于球体而言，氛围阻力系数和马格努斯力系数分散为
(12)
这里我们取了（6）式中的C=π2/2[4]，使用外表的干系以及球的质量m=ρbV=4πρbr3/3，（10-11）式可以化简为
(13)
(14)
此中系数
(15)
这里
是氛围与球体的密度比。实践上，在球活动的历程中，氛围会给球一相对证心的力矩从而影响球的转速，进而改动系数
并影响球的质心活动。笨重起见，在本文2.1-2.4节的讨论中，我们只眷注球的质心活动，而不思索球转速的厘革，即将球的转速视为一定值。思索转速由于氛围阻力矩招致的衰减而对球活动轨迹的影响将在2.5节中给出。
显然，依据（15）式，若
，则
，
，且
，此时球体的活动方程（13-14）近似为自在落体的活动方程，氛围阻力和马格努斯效应不分明。因此要想分明看到马格努斯效应或氛围阻力的效应，必要球体的密度不太大，这也是演示马格努斯效应的实行通常接纳空心球或气球等密度较小物体的缘故。接下去，我们起首讨论两种极度条件下的活动情况。
2.1 马格努斯力系数k2宏大于氛围阻力系数k1
当k2>>k1，也就是球的转速ω很大时，可以忽略氛围阻力的影响，而只思索马格努斯效应。进而球的活动方程可以简化为
(16)
(17)
求解这一组微分方程，可以取得球的活动轨迹满意
（18）
使用Matlab作出球的活动轨迹如下：
图8 忽略氛围阻力情况下竖直朝向自在开释的旋转球体的运动
图8表现，在氛围阻力比拟马格努斯力可以忽略的情况下，球在活动历程中能量几乎不耗散，且在x-y平面内做周期活动。由（15）式可以看出，这种情况下球上下震荡的频率为
，即球旋转速率越快，球干系于氛围的密度越小，这一震荡活动也越快。
2.2 长时间后的安定活动：匀速直线运动
察看图7中的受力分析不难发觉，球在活动历程中约莫存在一种稳态活动：即受力均衡下的匀速直线活动。这种情况下，球的受力均衡方程为
(19)
(20)
这里，θs和vs分散代表球在受力均衡形态下飞行朝向与水平面的夹角和质心活动速率。联立上述方程组可以解得
(21)
（22）
此中系数
(23)
我们将受力均衡形态下球体速率与水平面的夹角θs和活动速率vs分散称作收尾角度和收尾速率，并在图9中分散给出了随着转速增长时θs和vs的厘革趋向（依照篮球的参数取值举行盘算，取半径r=0.123m，质量m=0.6kg，氛围密度ρa=1.29kg/m3，重力增速率g=9.8m/s2）。
图9 氛围中旋转球体的收尾角度θs与收尾速率vs随球转速的厘革
从图9可以看出，随着转速的增长，球体收尾角度和收尾速率均减小，且收尾角度随着速率的增长减小得更快。这标明，当球体转速越来越大时，球开释后终极的稳态活动接近一种在水平朝向的漂移活动（与水平朝向夹角十分小），因此可以在水平朝向有较大的挪动距离。
特别地，当球转速ω=0，球的活动不会偏转，终极会在氛围阻力的作用下到达匀速形态。此时，μ→0，依据（15）式，收尾角度θs=π/2, 即竖直下落；别的，依据（16）式，收尾速率为
(24)
这与直接盘算氛围阻力和重力作用下球体的收尾速率一律[8]。
2.3寻常情况下的活动轨迹
除了外表讨论的两种特别情况，球的活动方程（13-14）没有寻常的剖析解。使用Matlab在不同的转速条件下求解（13-14）式，在图10中我们取得了多少有不同特性的轨迹。图10中盘算所用参数与图9一律。
2.3.1无水平初速率开释篮球
←a. ω=10π/s b. ω=17π/s→
←c. ω=20π/s d.ω=30π/s→
图10 无水平初速率自在开释旋转篮球在氛围中的轨迹
图10中，蓝色实线是Matlab数值求解球体动力学方程（13-14）式取得的解，赤色虚线是2.1节中（18）式给出的不思索氛围阻力的剖析解。球的转速在图10（a-d）中分散为ω=10π/s，17π/s，20π/s，30π/s.可以看到，在刚开释的一小段范围内，由于活动速率不大，氛围阻力较小，蓝线与赤色虚线几乎重合。随着活动速率的增长，氛围阻力由于与速率二次方成恰比而分明增大，从而使得蓝线与红线偏离。
别的，比力图10c和图10d可以看到，转速越大，球体在竖直朝向上显现下降-上升的活动阶段越多。图10还标明，在活动的末期，球的轨迹趋于不休线，这与2.2节中给出的球的受力均衡解切合合，此时球会做匀速直线活动直至落到地表。
同时注意到，随着球转速的增长，球体约莫在下落的历程中显现反向上升，如图10c和图10d所示，即本文开头所述北京高考物理卷14题C选项所给出的活动情形。具体分析球上升活动的条件，如图11所示。
←a. 活动轨迹 b. 竖直朝向活动速率→
图11 无水平初速率自在开释旋转篮球在空中显现上升活动的临界条件
在图11中，我们绘出了转速分散为9r/s和8r/s篮球的活动轨迹（a）和竖直朝向活动速率随时间的厘革（b）。从活动轨迹可以看到，篮球对否显现上升活动的的转速临界点介于8r/s到9r/s之间。从图11b可以看出，转速为9r/s的篮球在扔出后5s支配，显现了y轴正朝向的速率，即向上活动，而转速为8r/s的篮球没有显现vy>0的局部。同时，察看图10a，可以发觉篮球向上活动临界点对应的竖直朝向位移介于15-20米之间。因此，要想完成文章开头标题所述C选项的情形，必要投掷篮球的离地高度最少在15m以上，同时旋转速率必要大于8r/s。
2.3.2 以一定水平初速率开释篮球
图12给出了自在开释vx(0)=0m/s（蓝色实线）和以一定水平初速率vx(0)=20m/s（橘色实线）抛出的旋转球的活动轨迹的比力。球的转速在图12（a-d）中分散设定为ω=10π/s，17π/s, 30π/s, 80π/s.
←a. ω=10π/s b. ω=17π/s→
←c. ω=30π/s d. ω=80π/s→
图12 水平抛出的旋转篮球在氛围中的轨迹
从图12中可以看出，在初始角速率相反时，比拟于无水平初速率的情况（比力图12b中的橘线和蓝线），当篮球以一定水平初速率开释时，初始时竖直朝向的马格努斯力会显现大于球重力的情况，此时球开头“仰面”，即向上活动，活动到最高点后才开头下落。且当转速增大时，球的活动变得繁复，此时球会由于马格努斯力和氛围阻力的协同作用在空中多次上升回落，乃至显现相似螺旋线的活动，如图12c与12d所示。
2.4 圆周活动和螺旋运动
值得一提的是，在旋转球活动的一切轨迹中，会显现做圆周活动和螺旋活动的情况。当所投掷球密度与氛围等大时，即ρa=ρb，球在竖直朝向所受重力与浮力均衡，也就是g’=0。此时，球活动方程（13-14）式化为
(25)
(26)
进一步地，若忽略氛围阻力，则球只遭到马格努斯力的作用，且总垂直于速率朝向。不难推断这种情况下，球将在马格努斯力的作用下做匀速圆周活动，如图13 所示。
图13 带自转球体在仅受马格努斯力的作用下做匀速圆周活动
使用马格努斯力提供向心力，容易写出
(27)
此中R是球做圆周活动的半径，解之得
(28)
这是一个故意思的后果，此时马格努斯力会使得如此一个带自转的球体以
(29)
的转速做圆周活动。这一后果，在实行上可以用水平面上的旋转球体举行查验。这一活动形态与磁场中的带电粒子受洛伦兹力的作用而做匀速圆周活动的情形相似。
另一方面，若思索氛围阻力的作用，球体在做圆活动的同时速率会衰减，进而绕圈半径减小，因此会展现出螺旋线的轨迹。在图14中，经过数值求解（25-26）式，我们分散给出了忽略氛围阻力时
和思索氛围阻力时的旋转球的活动。图中盘算所用球的自转速率取ω=10π/s，球的水平抛射初速率分散取vx(0)=10m/s（蓝色实线）和vx(0)=20m/s（橘色实线）。
←a. 无氛围阻力的圆周活动
b. 计入氛围阻力的螺旋活动→
图14 竖直朝向（y朝向）所受力为0时旋转球的活动轨迹
察看图14（a）可以看出，忽略氛围阻力时，球的确做圆周活动，且圆活动半径与抛射速率成恰比，这与（28）式的实际后果一律。图14（b）标明，计入氛围阻力后，球的轨迹是一类螺旋线，且随着投掷速率的增长，螺旋线轨迹的尺寸增长。
2.5 氛围阻力矩的影响
在前方的讨论中，我们假定了球的转速恒定，因此球遭到马格努斯力的系数k2恒定，故而球所受马格努斯力只会由于球质心活动速率的改动而改动。但在实践的扔球情境中，球的转速会由于氛围阻力矩的存在而衰减，这会经过影响马格努斯力系数k2的轻重而影响球的活动，从而改动球的活动轨迹。寻常来说，氛围中旋转物体所受阻力矩与物体的转速成正干系，最常用的阻力矩模子寻常以为阻力矩与转速的一次方大概二次方成恰比，即
(30)
此中δ=1,2，k3是氛围阻力矩的系数。将上式与（13-14）式联立，我们可以求解转速衰减情况下球体的活动，相应的活动轨迹在图15中给出，球初始转速设为ω=40π/s.
←a. 氛围阻力矩恰比于转速
b. 氛围阻力矩恰比于转速平方→
图15 氛围阻力矩对自在开释的旋转球体活动轨迹的影响
由图15可以看到，思索阻力矩后，由于马格努斯效应随着转速的衰减而减弱，球在竖直朝向的反向活动次数会低落。别的，比力图15b和图15a可以看到，当阻力矩恰比于转速平方时，竖直朝向震荡活动的衰减加剧得更为敏捷。同时图中轨迹也分析，在思索转速衰减后，球在相反的竖直位移下对应的横向挪动随着转速衰减水平的增长而变小。
03
结论
总的来说，北京2020年高考物理卷第14题从高处开释旋转篮球的生存场景动身，经过给定新知识，察看了考生团结已有知识，并学习使用新知识表明物理征象、探求物理成绩的才能。本文进一步分析了该标题所触及的马格努斯效应，并具体讨论了旋转篮球在不同条件下开释后在氛围中的活动轨迹，取得了以下结论：
（1）旋转球体在氛围遭到的偏转力为马格努斯力，可以从伯努利原理动身举行表明并推导其具体情势，为F=Cρωr3v，与物体转速、相对流体的速率以及物体体积成恰比。使用马格努斯效应可以制成特定布局的飞行器，也可以用于汽船上作为推进安装浪费能耗；
（2）在开释高度切合时，当氛围阻力比拟马格努斯力可以忽略的情况下，旋转球在平面内做上下往复的周期活动；
（3）在开释高度切合时，旋转球在活动历程中终极会到达匀速直线活动的形态。且随着转速的增长，球体在该匀速直线活动中的收尾角度和收尾速率均减小，且收尾角度随着速率的增长减小得更快；
（4）依据数值盘算后果，当开释高度最少到达15m，且球的初始转速大于8r/s时，旋转球在活动历程中将显现向上活动的情况；
（5）以较大的水平初速率抛出旋转的球时，球会先向上活动；
（6）当所投掷球密度与氛围等大，且不计氛围阻力时，旋转球将做圆周活动。计氛围阻力时，球的轨迹是一类螺旋线；
（7）若思索氛围阻力矩对开释球转动的缓速效应，球在马格努斯力作用下的横向位移会变小。
参考文献
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致 谢
感激北京师范大学物理学系赵秀花同砚对本文的仔细阅读、排版与校正，感激都城师范大学从属中学范鸿飞教师、北京理工大学从属中学罗迪教师以及中国封建院大学物理学院欧仕刚同砚对本文的仔细阅读和名贵意见！
作者先容
赵芸赫，北京师范大学物理学系本科、硕士，现为都城师范大学从属中学教员，研讨兴致为IYPT成绩处理、中学阶段研讨性课程计划；
马宇翰，北京师范大学物理学系本科，中国工程物理研讨院博士，研讨兴致为仅限体系热力学、黑洞信息成绩。
泉源：京师物理
编纂：小林绿子
