文科生都能看得懂的贝叶斯定理，从白袜到飞机失事再到人工智能

专注于Java范畴优质武艺，接待眷注

文章转载 PM熊叔，作者 PM熊叔

人类很多时分的决定，也都是基于关于事物的猜测。好比，“出门要不要带雨伞？”解答这个成绩必要查天气预告。人类为了猜测天气，古时用的是夜观星象，玉轮长毛必有雨。现在天用的是统计猜测和履历猜测办法。但景象局天气预告也常常会产生禁绝的情况。佛系的说，天下上本没有相对的东西，我们算的只是个概率。

在概带范畴有一个很紧张的学派——贝叶斯学派。其中心是贝叶斯定理，由英国数学家贝叶斯 ( Thomas Bayes 1702-1761 ) 创造的。贝叶斯事先的论文只是对“逆概率”这个成绩的一个直接的求解实验，这哥们事先并不清晰这内里这内里包含着的深入头脑。

贝叶斯学派以为天下是不确定的，人们对天下先有一个预判，尔后经过观察数据对这个预判做调停。由于这种办法过于臆断，招致贝叶斯学派不受待见，被概率的别的一个“频率学派”所藐视。频率学派以为事物产生的频率应该是客观的。

贝叶斯署实际是对事物产生的“约莫性”的推理，并不必要这件事变产生后再丈量。比如，某地约莫产生地动的概率为3%，它的推断源自于观察了地动波、景象、鸡飞狗走等征象。这种办法区别于“频率学派”抛硬币的丈量办法，我们不成能测了100次，后果产生了3次地动。

贝叶斯实际上去更像一个哲学成绩。他报告人们，我们经过履历是可以推断出事故物对否产生的信赖水平。这笛卡尔的“我思故我在”哲学成绩相似，将困难的看似不成测的成绩，变成简便的可以测的成绩！

一、对贝叶斯公式的简便了解

如上图，有A、B两个事变聚集，已知事变A产生的概率为P(A)，事变B产生的概率为P(B)，既满意A又满意B的时间聚集是A∩B，概率为P(A∩B) （也可以写成P(A,B)或P(AB)）。

相对团结概率P(A∩B)来说，P(A)和P(B)被称为边沿概率，意思这个事变仅代表本人，而与别的事变不关。

如上图，假如我们只看聚集A，在A又切合B概率是P(B|A)，简便的说就是在A中找B，由于有A产生作为条件条件，以是被称为条件概率。（注意：“|”后方的A是条件条件，有点像分数“B/A”，“/”后方代表的是分母）

P(A∩B)的样本总体是A∪B，意思在全的样本中，思索AB都满意的概率事变，简便的说就是A和B内里找AB都有的。

如上图，不管是P(B|A)照旧P(A∩B)从聚集的角度看都是A∩B，只是一个总体样本范围轻重不同。

假如P(A)、P(B)、P(B|A)是已知的，那我们称之为先验概率；假如P(A|B)是未知的，必要我们盘算推导而出，我们称之为后验概率。

有以下的简化的贝叶斯公式：

用笔墨表述就是，在B显现的条件条件下A显现的概率，即是A和B都显现的概率除以B显现概率。

但为什么要“A和B都显现的概率除以B显现概率”？

外表提到过，P(A|B)是以B产生作为条件条件，也就是说我们要在B的样本空间中盘算A∩B产生的概率。以是分子是A∩B，分母是B：

二、举个外貌的例子

外表的讲得有点笼统，举个例子：

假定：小学?年级有共100?，此中有男?生30?。穿?袜?的?数共有20个，这20一局部内里有5个是男?。

1. 男生的概率 P(男生)= 男生数/总人数 = 30/100;

2. 穿白袜的概率 P(白袜) = 穿白袜人数/总人数 = 20/100 ;

假如我们只研讨穿白袜的男生的概率，我们会以下三个不同的视角：

A：以30个男生作为总体样本，P(白袜|男生)= 穿白袜男生数/男生数=5/30;

B：以20个穿白袜的学生作为总体样本，P(男生|白袜)=穿白袜男生数/穿白袜学生=5/20；

C：以一年级学生作为总体样本，P(白袜∩男生)= 穿白袜的男生数/总人数 = 5/100;

由于穿白袜子的男生一直照旧那5一局部，只是总体样本不同招致的分母不同，

假如要让三个数值相称那么“参考系”就要坚持一致。我们拔取一年级全体学生作为总体样本。如下图：

假定我们不晓得C的盘算后果，我们从视角A大概视角B，重新推导在一年级总体样本中，“找出”穿白袜的概率：

如上图，如紫色箭头所示，有两种办法：

视角A：先找出男生再找出穿白袜者，P(男生)P(白袜|男生)；

视角B：先找出穿白袜的人再找出男生，P(白袜)P(男生|白袜)；

经过盘算发觉A和B的后果和C是相称的：

关于这个后果也并未料外，由于经过概率相乘的办法，一致了“参考系”，以是就有以下干系

经过移项则可以取得底下式子：

也就是说，贝叶斯公式有如下干系：

因此，我们只需晓得先验概率 P(B|A)、P(A)和P(B)就可以求出P(A|B)。

二、全概率公式

照旧举小学校的例子：

已知男生穿白袜的概率P(白袜|男生)为1/6，P(白袜|女生)的概率为3/14。某个小学有一年学生100人，男生30人，女生70人，求这一年级学生穿白袜的概率P(白袜)。

为了更好的了解，我们把之前的图在视觉上做一下调停，如底下右方图所示：

经过上图我们可以很直观的看出，穿白袜的学生可以分红女生和男生，那么我只需分散盘算一年级的男生和女生穿白袜的概率，再将他们相加，就可以到达目标。

那假如再繁复一点呢？

假定这是家国际学校，我们不依照性别区分，依照国籍区分。

某小学是国际学校，一年级的100位学生中，有来自中国、美国、英国等国。这些将这些学生依照国籍分红n组，取得一个学生国籍的聚集A{A1, A2, A3…An}，每个国籍An所代表的人数都不尽相反。已知不同国籍的学生穿白袜的概率P(白袜|A1)，P(白袜|A2)……P(白袜|An)。求这个国际学校一年级穿白袜的学生P(白袜)。

国籍和穿白袜学生的干系如下图：

和外表的案例相似，我们只需分散盘算不同国籍学生穿白袜的概率，然后举行求和即可。如下图：

也就是说，我们将一个较大的概率聚集，拆分红每一小块分散盘算，然后再求和。这个解题思绪就是全概率公式。

全概率公式将对一个繁复事变的概率求解成绩转化为了在不同情况下产生的简便事变的概率的求和成绩。内假如事变A1、A2、A3…An 构成一个完备事变组，即它们两两互不相容，其和为全辑；并且P（Ai)大于0，则对任一事变A有：P(B)=P(B|A1)P(A1) + P(B|A2)P(A2) + … +P(B|An)P(An)。

三、完备版的贝叶斯公式

照旧外表国际小学的例子

假定中国学生穿白袜的概率是0.2，美国学生穿白袜的概率是0.1，英国学生穿白袜的概率是0.5。此一年级的100位学生可以分为中美英三个国籍，中国国籍学生60人，美国国籍学生30人，英国国籍学生10人。求白袜学生中，显现美国学生的概率P(美国|白袜)。

依据全概率公式，我们将P(白袜)拆解到各个国籍的穿白袜学生显现的概率，再求和:

P(白袜)=P(美国∩白袜)+P(中国∩白袜)+P(英国∩白袜)

= P(白袜|美国)P(美国)+P(白袜|中国)P(中国)+P(白袜|英国)P(英国)

以是依据外表式子，可以盘算P(美国|白袜)的概率：

各国学生概率：P(中国)=0.6; P(美国)=0.3; P(英国)=0.1

假如，我们把国籍交换成Ai，白袜交换成B，就可以取得完备版的贝叶斯公式了：

外表如此写太长了，我们换个写法，用“∑”表现求和：

外表这个就是我们的完备的贝叶斯公式了。

四、使用贝叶斯公式征采失事飞机

如上图，一架飞机失散了，推测它约莫落在3个地区，R(=1,2,3)表现飞机坠落在第地区。令1-β (=1,2,3)，表现飞机内幕上落在第个地区且被发觉的概率(β称为忽略概率，由于它表现忽略飞机的概率，通常由该地区的地域和情况条件决定）。已知关于地区1的搜刮没有飞机，求在此条件下，飞机坠落在第(=1,2,3)个地区的条件概率。

由于

那么我们可以先求P(E)的全概率，在1区没有征采到的缘故分三种情况:

以是P(E)的全概率：

由于P(R | E)= P(R∩E)/P(E)，以是：